Теплым вешним с утра Джун Ху шел в зал Макдоннелла Пристонского института, где его ожидали студенты. Но он не был уверен, что идет в подходящем направлении. Ху работает в элитарном Институте многообещающих исследовательских работ, который размещается недалеко от студгородка Принстона. Будучи сотрудником института, Ху не должен преподавать. Тем не наименее, он вызвался прочесть студентам продвинутый курс по коммутативной алгебре. Когда я задал вопрос Ху, для чего ему это необходимо, тот дал ответ: «Когда ты учишь, то делаешь что-то не плохое. Когда проводишь исследования — огромную часть времени ты бесполезен».
Мы добрались до аудитории за пару минут до начала занятий. Девять студентов рассредоточились по рядам. Один из их спал, положив голову на стол. Ху расположился в фронтальном углу аудитории и достал несколько помятых листов из ранца. Без излишнего шума он отыскал пространство, на котором тормознул недельку вспять. В течение следующих 80 минут Ху познакомил студентов с подтверждением аксиомы германского математика Давида Гильберта, которое сделалось одним из важных прорывов XX века в области арифметики.
В немногих институтах студентам-бакалаврам преподается коммутативная алгебра. Но это обычная практика для Принстона, куда раз в год поступают более многообещающие юные арифметики мира. Как минимум по данной для нас причине, считает Ху, находившиеся в аудитории в то утро студенты могут считаться необыкновенно профессиональными. Один из сидячих в первом ряду был единственным человеком, выигравшим 5 золотых медалей на Интернациональной математической олимпиаде.
Судьба Ху начиналась с наименьшим фуррором. Гнусный итог контрольной в исходной школе уверил Ху, что он не весьма отлично разбирается в предмете. В подростковом возрасте он грезил стать поэтом. У Ху не было диплома математика. Когда он подавал заявления в аспирантуру, ему отказали все институты, не считая 1-го.
Девять лет спустя, в свои 34 года, Ху оказался на верхушке математического мира. Самую большую известность ему принесло решение давнешней задачки: совместное с Эриком Кацем и Каримом Адипрасито подтверждение догадки Роты.
Заслуживает внимания не лишь само подтверждение аксиомы, но и то, как ученые пришли к нему. Они отыскали метод переосмыслить идеи из одной математической области в иной, к которой те, чудилось, не имели никакого дела. Прошлой в весеннюю пору Институт многообещающих исследовательских работ предложил Ху длительную стипендию, которую до этого получали только три математика. Два из их (Владимир Воеводский и Нго Бао Тяу) были потом удостоены Филдсовской премии — высшей заслуги в данной для нас области.
Ху заинтересовался арифметикой в довольно позднем для этого возрасте. Его фуррор кажется неописуемым, как если б он в первый раз брал в руки теннисную ракетку в 18 лет, а в 20 выиграл Уимблдон. Схожее изредка происходит в арифметике. Обычно, для совершения открытия требуются годы спец подготовки. Но было бы ошибкой разглядывать заслуги Ху как нечто произошедшее только вопреки его нетипичному началу карьеры. В почти всех отношениях фуррор является продолжением его неповторимой истории, результатом случайного знакомства в институте с именитым ученым, который каким-то образом рассмотрел в Ху сокрытый талант.
Случайный ученик
Ху родился в 1983 году в Калифорнии, где его предки обучались в аспирантуре. Семья возвратилась в Сеул, когда мальчугану было 2 года. Его отец преподавал статистику, а мама стала одним из первых профессоров российской литературы в Южной Корее с момента начала Прохладной войны.
Ху признается, что опосля неудачной контрольной в исходной школе он стал настороженно относиться к арифметике. Он не считал, что неплох в ней, потому решил разглядывать эту науку как бесплодную погоню за одним логически нужным утверждением, за которым скрывается другое. Будучи тинейджером, он пристрастился к поэзии, обнаружив в ней настоящее творческое выражение: «Я знал, что умен. Но мои оценки гласили о оборотном. Потому я начал писать стихи».
Ху написал много стихотворений и несколько новелл, в основном о собственных подростковых переживаниях. Ничего из этого не было размещено. К моменту зачисления в Сеульский государственный институт в 2002 году Ху сообразил, что не сумеет зарабатывать на жизнь поэзией, и решил стать научным журналистом. Он специализировался на астрономии и физике, может быть, неосознанно следуя своим сокрытым аналитическим возможностям.
В крайний год Ху в институте, когда ему было 24 года, в Сеульский институт в качестве приглашенного педагога прибыл узнаваемый японский математик Хэйсукэ Хиронака. Доктору в то время было немногим за 70, в Стране восходящего солнца и Южной Корее он числился истинной знаменитостью. В 1970 году Хиронака получил премию имени Филдса, а опосля написал книжку воспоминаний «Удовлетворенность обучения» (The Joy of Learning), которая стала пользующейся популярностью посреди целого поколения родителей в Стране восходящего солнца и Корее. Книжку брали детям в надежде на то, что из их возрастут величавые арифметики. В Сеульском институте Хиронака читал курс лекций по алгебраической геометрии, довольно общему разделу арифметики. Программка была рассчитана на один год. Ху стал посещать лекции Хиронаки, надеясь, что доктор станет первым героем его журналистской работы.
Вначале совместно с Ху на курс записались наиболее 100 студентов, у большинства из которых математика была профилирующей. Но через несколько недель опосля начала число слушателей существенно сократилось. Ху подразумевает, что остальные студенты закончили ходить на занятия Хиронаки, посчитав их очень сложными. Он же остался, поэтому что не ожидал того, на что возлагали надежды арифметики.
«Они отказались от курса, поэтому что не достаточно что соображали. Естественно, я тоже ничего не осознавал, но у студентов-нематематиков обычно иной подход, — отметил Ху. — Мне были понятны некие обыкновенные примеры, которые Хиронака демонстрировал в классе, и этого было довольно».
Ху желал пользоваться возможностью и опосля занятий старался пообщаться с доктором. Скоро они стали совместно обедать. Хиронака вспоминает, каким деятельным студентом был Ху: «Обычно я не отказываюсь от разговора со студентами, но и не ищу общения с ними. Джун стал сам обращаться ко мне».
Во время совместных обедов Ху интересовался жизнью доктора, но разговор повсевременно переходил на арифметику. Ху старался не выдать себя и не показаться невеждой. «Каким-то образом мне удавалось отлично притворяться, что я понимаю все, о чем он гласит», — ведает Ху. Хиронака вправду не замечал отсутствия профильного образования у собственного ученика: «Ничего такового не припомню. Он произвел на меня весьма хорошее воспоминание».
По мере продолжения бесед за обедом дела педагога и студента крепчали. Ху закончил Сеульский институт, а Хиронака остался преподавать еще на два года. В это время Ху начал работу над магистерской по арифметике, в основном под управлением Хиронаки. Практически всегда они проводили совместно. Время от времени доктор ездил домой в Японию, и Ху аккомпанировал его в этих поездках. Он носил сумки доктора в аэропорту и даже ночевал в квартире доктора и его супруги в Киото.
«Я задал вопрос Джуна, не желает ли он забронировать номер в гостинице, но оказалось, он не любит гостиницы. Потому он тормознул у меня», — ведает Хиронака.
В Сеуле и Киото доктор и прошлый студент продолжали совместно обедать и ходить на долгие прогулки, во время которых узнаваемый математик фотографировал цветочки. Завязалась дружба. «Мы отлично относились друг к другу и дискутировали не лишь о арифметике», — ведает Хиронака.
В то же время они продолжали заниматься наукой. Во время обучения доктор старался разъяснять на определенных примерах, доступных для осознания Ху, и не употреблять общие теории, сложные для восприятия. А именно, Хиронака говорил Ху о аспектах теории сингулярности — области, в которой получил самую большую известность. Математик на протяжении десятилетий пробовал отыскать подтверждение важной задачки — разрешения особенностей по характеристике p. «Это проект всей его жизни, мы гласили в основном о нем, — вспоминает Ху. — Разумеется, он желал, чтоб я продолжил эту работу».
В 2009 году по настоянию доктора Ху подал документы в несколько учебных заведений США (Соединённые Штаты Америки — государство в Северной Америке), чтоб обучаться в аспирантуре. Ему не доставало квалификации — в институте на арифметике он не специализировался, а посетил только несколько математических курсов, и его результаты недозволено было именовать выдающимися. Одним из основных аргументов в заявке на поступление была рекомендация от Хиронаки. Большая часть приемных комиссий это не впечатлило. Ху отказали практически все учебные заведения, не считая Иллинойсского института в Урбане-Шампейне, где он начал обучение (педагогический процесс, в результате которого учащиеся под руководством учителя овладевают знаниями, умениями и навыками) в осеннюю пору 2009 года.
Задачки с графами
В Иллинойсе Ху начал работу, в ходе которой сумел обосновать догадку, сформулированную итальянским математиком Жан-Карло Ротой 56 годов назад. Она касается графов — комбинаторных объектов, которые похожи на фигуры из детского конструктора Tinkertoy. Графы представляют собой «композиции» точек и линейных отрезков, соединенных друг с другом.
Разглядим обычный граф — треугольник.
Математиков интересует последующее: сколько существует вариантов раскраски вершин треугольника при наличии нескольких цветов и условия, что верхушки, имеющие общее ребро, не могут быть 1-го цвета. Допустим, количество цветов равно q. В таком случае:
q — 1-ая верхушка, поэтому что в начале вы сможете избрать хоть какой цвет;
q — 1 — смежная верхушка, поэтому что ее цвет должен различаться от цвета первой верхушки;
q — 2 — 3-я верхушка, поэтому что для нее необходимо избрать цвет, хороший от цвета 2-ух остальных вершин.
Общее число вариантов раскраски можно получить при умножении всех вероятных опций. В нашем случае получаем: q x (q — 1) x (q — 2) = q3 — 3q2 + 2q.
Такое уравнение именуется хроматическим многочленом этого графа. Оно владеет несколькими увлекательными качествами.
Возьмем коэффициенты всякого члена: 1, —3 и 2. Абсолютное значение данной для нас последовательности — 1, 3, 2 — владеет 2-мя качествами. Во-1-х, она «унимодальна». Это означает, что в последовательности есть лишь одно наибольшее значение. До него значения лишь растут, опосля — лишь убывают.
Во-2-х, ее коэффициенты логарифмически вогнуты. Это означает, что любые три числа в данной для нас последовательности должны соответствовать последующему правилу: итог умножения 2-ух чисел, меж которыми стоит третье, должен быть меньше, чем квадрат третьего числа. К примеру, последовательность 1, 3, 5 удовлетворяет этому требованию, потому что 1×5 = 5, что меньше 3^2. А последовательность 2, 3, 5 не удовлетворяет, потому что 2×5 = 10, что больше 3^2.
Можно представить нескончаемое число графов, в которых будет большущее количество вершин и ребер, соединенных меж собой разными методами. У всякого из этих графов будет собственный хроматический многочлен. А коэффициенты хроматического многочлена всех графов, что изучали арифметики, были сразу и унимодальны, и логарифмически вогнуты. Утверждение, что это справедливо для всех случаев и есть догадка Рида, подтверждением которой занимался Ху.
В котором-то смысле догадка Рида противоречит сама для себя. Чтоб осознать это, необходимо разобраться, как можно делить графы и соединять их назад. Для этого разглядим незначительно наиболее непростой граф — прямоугольник.
Хроматический многочлен прямоугольника вычислить труднее, чем хроматический многочлен треугольника. Но любой граф можно разбить на подграфы, с ними проще работать. Подграфами могут считаться любые графы, которые образуются при удалении из начального графа 1-го либо нескольких ребер:
Либо методом наложения одной верхушки на другую:
Хроматический многочлен прямоугольника равен хроматическому многочлену прямоугольника с удаленным ребром минус хроматический многочлен треугольника. При всем этом возникает предположение, что методов «раскрасить» прямоугольник без 1-го ребра больше, чем методов «раскрасить» треугольник: в первом случае две верхушки не соединены друг с другом ребром и вариантов для раскраски больше (вы сможете, к примеру, раскрасить их в один цвет, что недозволено создать при наличии соединительного ребра). Но сколько доп вариантов раскраски возникает в таком случае? Столько, сколько возникает при «раскраске» треугольника.
Хроматический многочлен хоть какого графа можно найти через хроматические многочлены подграфов. Их коэффициенты постоянно будут логарифмически вогнуты.
Но когда вы складываете две логарифмически вогнутые последовательности либо вычитаете одну из иной, в итоге выходит последовательность, которая не является логарифмически вогнутой. По данной для нас причине можно представить, что это свойство пропадет при совмещении хроматических многочленов. Но оно не исчезает. Происходит нечто другое. «Конкретно потому людей так интересует парадокс этого характеристики», — считает Ху.
В поисках спрятанной структуры
Ху не знал ничего из этого, когда прибыл в Иллинойс. Обычно, аспиранты-первокурсники не занимаются исследовательскими работами, а проводят огромную часть времени на лекциях. Но опосля 3-х лет учебы у Хиронаки у Ху возникли идеи, которые он желал воплотить.
За первую зиму собственного пребывания на Среднем Западе Ху разработал способы внедрения к графам теории математической сингулярности, которую он с особенным вниманием изучал с Хиронакой. При всем этом Ху нашел, что, когда он выделял область с сингулярностью из графа, он мог употреблять теорию графов для обоснования параметров всего графа — к примеру, разъяснить, почему коэффициенты многочлена, задающего граф, будут создавать логарифмически вогнутую структуру.
Это заинтриговало Ху, и он проштудировал литературу по теории графов, чтоб поглядеть, не описывал ли кто до него логарифмически вогнутые структуры. Как оказывается, подобные кривые все еще оставались загадкой для теоретиков.
«Позднее я вызнал, что эти структуры представляли собой догадку Рида. В котором-то смысле я решил делему, ничего о ней не подозревая», — ведает Ху.
Непроизвольное подтверждение аксиомы Рида методом объединения теории сингулярности с теорией графов — следствие неопытности Ху. Он изучал науку в основном без помощи других либо во время внеклассных занятий с Хиронакой. Любой, кто крайние несколько лет следил за подъемом Ху, считает, что благодаря отсутствию опыта он не следовал принятым математическим способам. «Если представить арифметику в виде континента, поделенного на страны, то Джуну никто не произнес о существовании границ. Он не был ограничен никакими рамками», — увидел Робберт Дижкграф, директор Института многообещающих исследовательских работ.
Скоро опосля публикации подтверждения догадки Рида Мичиганский институт пригласил Ху. Сначала декабря 2010 года он выступил перед аудиторией тех педагогов, которые год назад отказали ему в приеме в аспирантуру. К этому времени его талант стал очевиден для остальных математиков. На тот момент Джесс Касс был постдокторантом Мичиганского института. «Один из старших педагогов незадолго до визита Ху посоветовал мне слушать его речь: „Через 30 лет ты сможешь поведать внукам, что слушал Ху еще до того, как он стал известным»», — вспоминает Касс, доктор Института Южной Каролины.
Выступление было впечатляющим.
«Его лекция была кропотливо обмыслена и максимально ясна. Он затронул все нужные нюансы. Нечасто услышишь от аспиранта настолько прекрасную речь», — произнес математик Мирча Мустацэ.